Ecuación de onda

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en los 

instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange
La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface:

Donde es el laplaciano y donde es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.
Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada).
La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:

Donde:
• y son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio.
• es la densidad,
• es la función de entrada (fuerza motriz),
• y es el desplazamiento.
Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial.
Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general
ECUACIONES DE ONDAS
Las ecuaciones de ondas describen fenómenos ondulatorios: progagación del sonido, propagación de ondas electromagnéticas, vibración de cuerdas, barras y membranas, vibraciones producidas por terremotos, oscilaciones de péndulos y muelles, movimiento de ondas en un estanque...
La ecuación de ondas en dimensión uno
Uno de los sistemas más sencillos cuya evolución se puede describir mediante ecuaciones de ondas es la cuerda vibrante. En ausencia de fuerzas externas, la posición u(x,t) de la cuerda en el instante de tiempo t es solución de la ecuación:
utt- c2 uxx = 0, x [0,L], t>0
El cambio de variable = x+ct, =x-ct transforma la ecuación en u=0. Integrando y volviendo a las variables iniciales obtenemos la solución general:
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)
Para determinar la evolución de la posición de la cuerda con el tiempo hemos de conocer su posición inicial u(x,0) y su velocidad inicial ut(x,0) (condiciones iniciales).Si la cuerda es infinita estos datos bastan para obtener F y G. Normalmente, la cuerda será finita y habremos de saber además qué ocurre en sus extremos, si están fijos, libres o se mueven de alguna forma predeterminada (condiciones frontera).
El movimiento ondulatorio se inicia con un M.A.S. que se propaga de unas partículas a otras. Si es unidimensional, por ejemplo las ondulaciones de una cuerda, solo se propaga en una dirección que representamos con el eje X. La direccion de la vibrción la representamos con el eje Y, tanto si se trata de una onda transversal como si se trata de una onda longitudinal.
La ecuación será una función y(x,t) que nos da la posición de cada particula en cada instante. Es una ecuación del tipo:
y = A cos (w t - K x)
También podría tener la función seno en lugar de coseno. La difernecia es que con la función seno la partícula x=0 tiene elongación y=0 en el instante inicial y con coseno tendrá y=A en el instante inicial.
La fase podría ser (wt+kx), la difernencia es que si tiene el signo menos la onda avanza hacia la derecha y si tiene el signo más avanza hacia el sentido negativo del eje X.
Por otra parte, podría haber una fase inicial si la partícula x=0 no está ni en el origen ni en el máximo de elongación.
La ecuación es doblemente periódica porque lo es respecto al desplazamiento (x) y respecto al tiempo. En el primer caso se repite cada vez que x aumenta una longitud de onda (ver figura) y en el segundo caso cada vez que transcurre un periodo.

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